Propoíitio 17.18. & 19.   461
cum numero «quali duplo partium «qua-bicur tot rebus quot fune quadrata ambo triplicata.Quod fi cubus 3c numerus propo-nantur «quales numero cuidam rerum cuius tertia pars non fit maior quadrata cubi aggregati quadratorum nec minor duplo cubi iji. dinaidi) quadratorum,erit dimidium numeri «quationis aggregatum cubormn partium ab diuifa in c dico quòd tripluma
igitur bafes erunt in ea proportio-ne. Quare pro-portio d e ad c e y.. illius & cum fit i. m. propor- ' tione d c ad c e igitur erit per le nota.
  --- 
      
¿ e   
    b in quadrata a c Sc c b eft «quale cubo a b eum duplo cuborum a c &c c b, Confiat cnim cubum a b eiTe «quaiem cubo a c.bc & triplo a b in quadratum a c Se triplo a c in quadratum c b,quare illud aggregatum eft «quale triplo cuborum ac&cbif produco a c in quadratum c b & triplo c b in quadratum a c. At hoc eft «quale triplo a b in quadrata a c & c b ex conftitutione igitur conftac propoikum.
       Corol. primum patet, nam fi aggregatum cuborum dederimus dimidio numeri Se duplum eorum toti numero «quationis, relinquetur cubus totius «qualis rebus, quare quadrata numero: &c proportiocuboium ad quadrata nota.fequetur etiam per idem quod fuppofito cubo cum numero «quali rebus folum quod numerus file rerum erit conftitutus ; gratia exempli cubi fint 3 5. & aggregatum quadralorum fin 13.dico quod cric conftitutio,ducemus 33. per 2. iemper, fc 13. per 3.Se fiet 1. cu. p.7o.«qualis 39. rebus.
        Cord, fecundum.propofito cubo, grada exempli, cum numero «qualis 18. re*bus ita ▼t numerus 18. fit «qualis quadratis partium ex demonftratis dico quod aggregatum cuborum non poterit effe minus duplo cubi yt. quadrata dimidi) 18. & ita non minor 54. nam ^¿.quadrata dimidij 18. eft 3. ctjius duplum cubi eft 54. nec poterit effe maior 31. quadrata cubi eiufdem aggregati velut aggregatum cubi di£lum fi fit 1 8. cuius cubus eft 5832. eius Radix quadrata quaeeft circiter 76- eft maximum aggregatum cuborum. Et ita propofids 54. pro aggregato cuborum minimo & ty. 5832. prò maximo poterimus eruere aggregatum quadratorum conuerfaratione.
        Problema Oclauum Propofìtio 17.
                                                    Theorems 10. Propofitio 18. Arehimedico modo propojíta.
  Sint tres line« a b, c Se d e in continua proporcione Se diuifa fit d e in f ficuc d ffie media proporcione inter a b Se f e dico c fore tnediam ínter aggregatum a b & d ÍÓC ipfam d f. Et rurfus, quod filie tale aggregatum ex a b Si df quod üt a g & fuerit c media inter a g Se g b íueritque a g 3c g b
    a              b        g h
G
                                                                                                                                      d f e
fubtenfa tertia g h in continua proportione quòd cerit media inter ab & b h. Tu. fciS pcr pufitiònem quòdd ferii laitis iuperficiei ex a b in d e addito quadrato dimidi) a b detraila ab eo latere dimidia a b. Item ex demonftratis alias quòd propottio d e ad f geli duplicata ci qu« eft c ad d f,cum ergo propottio a b ad d f fit vt d f ad f e ex fuppofito erit comunitari a g ad b g vt d c ad e f,fed d eadef vt c ad f quia tertia ad tertiam vtfecundaad fecondarci duplicata, igitur a g ad gb vt c ad f d duplicata,ergo cum d f fit «qualis b g erit 8 g ad e vt c ad b g feu ad d f quod fuit demonftranduro. Contrario modo demonftrabitur feconda pàrs qua: eft conuerfa.
    T heoremum Vndec'mwm ‘Tropofit io 19,
    Si linea in duas partes ae duas diuidatur quadratum totius Se produita fuperficies ex prima in certiam «quales erunt iuperficiei ex tota in primam 3c tertiam pattern ac ex fecunda in quattam.
    Sit a b diuifa in c & d dico quòd quadratum a bcum fuperficie a c in a d eft «quale
           a      c      d             b
        Propofito reitangulo folido quadrat* bails Ifolipa fua inuenirc fub proportione data.
.Com. Ifolipa fiunt diuifa bafi in duo quadrata vt a lacere vides fed ita vt fint «que alta & ideò erunt nifi corpora fint cubi non eli ne-ceflè vt mutu* fint cubis altitudines fed folum vt différant quantum latera cuborum. Infinita ergo poterunt elle in vnoquoque cubo Ifolipa prima. Et in vnoquoquc reólangulo folido quadrat* balìs Ifolipa fccunda. Et quia propottio eft ve bafium cum fint «qualis altitudinis Tom. I?.
fuperfìciebus b d in b c &c a b in a c &c ad fi’ mul iniun&as. Hoc fit per Quartana fecun* di Elementorum. Quadratum enim a b cum eo quod fit ex a c in a d eft «quale quadrato b c Se duplo quadrati a c & duplo b d in c a &c ei quod fit ex a c ter in c d loco quadrati b c ponemus quadrata b d, d c Se duplum b d in d c vt fine XI. partes, quadratum autem b d communiter detrahituf & b d in de femel pro fuperficie b d in b c relinquuntur IX. fuperficies. Ac ex a b in a c fiunt tres fuperficies Se in a d fcx , fed tres fimilcs ex a b
                                                                                                                                           Qq j quad.