Propoíltio 2i. Sec. 475
          ducli ex proportionibüs a ad b » b ad c, Se Ten s. Pet. c a(j ^ producantuc igitur ex proportioni-bus a ad b,c ad d. proportio c ad f, cric igitur proportio e ad f, fi multiplicetur per proportionem b ad c cadem qux prias, Se produ&a iam eft radem ei, qux eft a ad d, ergo porporcioa ad d eric produda ex proportionibüs a ad b > c ad d per pri-mam propófitionem. Quod vero diximus de prima Se quarca fi fine xquales, manife-flura eft, quod res redi c ad idem folum tranfmutato ordine, vt cerda , Se quarta prxmittantur primx, & fecundx. Hxc igitur propofitionihil aliud innuit,quám quod in hoc cafu produdio , qux folet fieri ex tribus proportionibüs fiat ex duabus tan-tum.
                 Propofitio vigefimaprima.
            Cum decuflatim duda fucrit prima in quartam, Se fecunda in tertiam , produ-dumque primx in quartam diuifum fue-rit per produdum fecundx in tertiam eric proportio primx ad fecundam diuifa per proportionem certix ad quartam. E fimi-liter interpofita omiologa.
                                                                                          Cor Primum exponamus fecundam partan,
                                                                                                   ’ fit proportio a ad b, quam volo diuidere per proportionem cad d , fació c ad b, vt
              :Xc—f—k
              b d g---------k
          c ad d, erit ergo per fecundam harum proportio ad b produda ex proportione a Pet. 10.'Pet. e t & e ad b, quare ex a ad e, & c ad
          d, ergo diuifa proportione a ad b per pro* portionem c ad d exit porportio a ad e,Sc Jiic eft fecundos modus. Primus autem modus ducatur a in d 5c fiat f, & b in c & fíat g, dico proportione f ad g eífe prouentum proportionis a ad b , diuide per proportionem c ad d, ducatur igitur c in f & fiat h , & d in g & fiat k, quia igitur h producitur ex c in f, & f produ-citur ex a in d, ergo h producetur ex produdo c in d, in a, Se fimiíiter quia k producitur ex d in g , & g producitur ex b in c , ergo k producetur ex c d in b, ergo ex c d in a fit h, ex c d in b fit k erit » ad b vt h ad, k igirur ex prima harum cum ex c in fproducatur h, Se ex d ing k, & dicatur produci proportio h ad k ex proportione c ad d, ¿í f ad g » & propor-tio h ad k fit eadem, qux a ad b, ergo proportio a ad b producitur ex c ad d, & f ad g, ergo diuifa proportione a ad b prodibit proportio f ad g, quod fuít pto-pofitum.
                 Propofitio vigefimafetuittU.
                                                                                                Cum fuerit proportio primx ad fecun-
dam maior , quam tettix ad quartam , erit confüfa ex his maior quám tertixad quartam , minor autem quám primx ad fecundam.
   Sit proportio a ad b maior quám c ad c«s. d, dico, quod confufa ex a c ad b d cft
      a e               c          f
      i------|-I i-----------------i
      b                 d
      í------        1---------------í
maior , quám c ad d, et minor quám a ad b, vt cnim c ad d ita fiat e ad b, eritque per tertiam decimam harum c c ad b d ptr i», p#. confufa minor quám a c ad b d, nam e eft minor a, quia proportionem habent minoran ad b quam a eo quod e habet proportionem ad b , quam c ad d, qux autem c ad d minor, quám aad b,vt luppofitum eft , igitur e c ad b d minor, quám a b ad c d, e b autem ad c d eft, vt demonftra-tum eft qualis c ad d , ergo c ad d mihor» quám confufa a b ad c d, quod eft fecun-dum per idem probabitur , Se primum po fita f add, vt a ad b, eritque a maior c,igitur maior proportio a f ad b d, quám a c ad b d, fed a f ad b d, vt a ad b per eandem tertiamdecimam huius ergo proportio coafufa a b ad c d eft minor, quám a ad b.
          Propofitio vigtfimAttrtiA.
   Omnis motus naturalis ad locum fuurn eft: ideo per re&am lineam fit.
   Motus naturalis eft vt confcruetur cor- cik, pus, Sc eonueniat locus corpori, igitur fie ad fuum locum. Locus autem dicicur in comparatione ad vniuerfum. ideo omnis motus naturalis eft á centro mundi furfum, vel ad centrum deorfum. Et quia quanto natura celerius fuum finem poteft aflequi ( quia finis bonus eft aliter non ilium ap-pecerct) eum quxrit, cum fit fapientiffimx vitx miniftra: at linea rc&a breuiffitna eft tertih Euclide tefte á punfto ad pumftum igitur fnmi Eltin. omnis motus naturalis eft furfum aut deorfum per re<5tam lineam.
         Propofitio vigefimAtjuartet.             /
   Omnis motus circularis voluntaiius eft,
   Sit motus in circulo feu per circulum in orbe cuius fit centrum,fit c mundi centrum igitur, ex difnnitiooe circuit tantum difta-bit a ,jquantum b ab ipfo c : fed in motu naturali perprxeedentemceceflc eft, vtia-¿la feratur ad c, vel recedat, igitur motus a eft voluntarius , non naturalis , nam fi violentus diet, non eifet perpetuus. Omnia ergo aftra feruntur circa centrum mundi. Sit modo rota e f g» dico e non moue-rirootu circularinam linea c c longior eft g c, ergo reóta mouctur ad centrum non circa centrum. Indicio etiam id eft : quod fi in e ponatur fruftum aliquod infi-gne plumbi in motu ad g per ( defeendet raptim; at dum ex g in* magnacum di£-Rr 4