Com. Com. 528 Propofitio 135.& 136. ad earn, qua: poteft fuper f c fuperficiem, Ex hoc liquec quod parallelipedum illud Com. quamf a ad a e , igitur maior, quàm a k eric quadruplumcubo minoris partis, 5c dr- midium cubi maioris. k 1> K 2 ad ab ex prima fexti Elementorum : igitur per trigeiimam quarcam vndecimi. Parallelipedum ex e d in a b maius eft paralleli-pedo ex ea, qua: poceft in f c fuperficiem in ipfam fuperficiem a k. Si vero diuifio faila fuerit in g, conftac ex precedenti, quod minor eft proportio g e ad e d, quàm lit duplicata eaadadag, earn igitur minor proportio eius linea: , qua: poteft in g c fuperficiem ad e d quam a b ad a h igitur parallelipedum ex ed in a b eft maius paral-lelipedoex ea , qux poteft g c in a h cum fit a b ad a h « vc duftum eft , velut a e ad a g. Manifeftum eft autem, quòd tale corpus eft arquale duplo cubi lateris partis tertia: quadrata:. Proprfitio centefirnu trigejima quinta. Si linea in duas partes, quarum vna fit alteri dupla,diuidatur erit,quod fit ex tertia parte in quadratura refidui parallelipedum maius omni paralleli pedo,quod ex diuifione eiufdem linea: creari poffit. Sit a c dupla b c, 5c fit quadratura ad ip-fius a c , dico parallelipedum ex b c in a d maius elle quouis alio ex diuifione linea: a b fimiliter creato. Secetur primo in e , 5c fiat quadratum a f, eritque per vigefimam quintain. Huius proportio c b ad be maior duplicata a e ad a c , quare maior, quam a fad ad per vigefimam fexti Elementorum , igitur per trigeiimam quartam vndecimi , Parallelipedum ex b c in a d maius eft parallelipedo e b in a f, quod eft demon-ftrandum Si verb diuifio cadat in g , fiat quadratum a h , & eric per vigefimam ter-ttam huius nroportio g c ad c b minor, quàm duplicata c a ad a g : igitur minor, quàm ad ad a h, igitur per eandem parallelipedum ex c b in a d maius eft parallelipedo ex gb in a h- Propofitio centefma trigefma fexta. Denominationes in infinitum exten-dere. Inquit Euclides,fi fuerint quotlibet quan- Com titates ab vno in continua proporcione, erit Lib. 9. Proti tertius numerus quadratus, 5c omnes alij P°f- *• fequentes vno intermiilo. Terna igitur in comparatione ad fecundam etiam , quod non fit numerus, eft quadratum : eft emm tertia ab vno quadratum fecunda:, qua: eft proportio. Detradto igitur vno omnes quadrates loco pari funt quadratic: vc Idas ergo cuiusfunt quadrata: diuidc per medium , Sc erit quadratum illius - ergo quadragefima erit quadratum vigefima: , 5c vigefima decima: , Sc decima quinta:,5c vigefima fexta tenia: decima , 6c ita de aliis. Iuxta hoc dicemus, quod fecunda erit quadratum, 5c quarta quadratum quadrati, 6c odlaua quadratum quadrati quadrati. Et fexta decima quadquadquadejuad. Sc ita crigefima fecunda quadquadquadquadquad. Quod autem quad, eft quarta in ordine , ideò 5c oilaua 5c duodecima 6c decima fexta, 5c lie de aliis funt quadrata quadrati , 6c ficuc quarta eft quadratum quadrati prima:, ita odtaua lecundae , 5c duodecima tertia:, 6c fextadecima quarta:, 5c vigefima quinta: , 5c ita Temper diuidendo per qua- > tuor. Secunda regula dicebat ibidem Euclides, L'ks- rr®‘' fi fuerint quotlibet quantitates ab vno in *’ continua proportione quartus, ab vno eric cubus fupple fecunda:, 5c ita duobus Temper intermiifis, vno igitur ipfo rehtìo quohbet loco ternario, vc tertia , fexta,nona,duodecima funt cubi,5c cubi eius quantitatis, qua: exit diuifo numero per cria,velut tertia prima:, fexta iecundx, nona tertia: duodecima quarta: : 5c ita tertia erit cubus nona cubus cubi,5c vigefima feptima cubus cubi cubi ieijicee prima:. Et trigefima nona eft cubus tertia: decima:. Tertia regula quarta quantitas, vtvifum eft , eft quadquad. Et quinta eft relatum primum , quia 5 eft numerus primus, 5c 7 eft relatum fecundum,quia eft fecundus numerus primus : 5c vndecima tertium 5c ter-tiadecima quartum:Sc decima feptima qmn-tum : 6c decima nona fextum : Sc vigefima tertia feptimum 5c vigefima quinta , quia eft primus numerus praeterquam ad quin-ram , ideò eft relatum quinta:, quae eft relatum primum prima:, omnes ergo numeri primi funt relata, ali) omnes funt ex natura cubi vel quadrati. Sed relata funt inter fe omnia diuerforum generò nifi vigefimum quintum , quod eft relatum primum primi relati, Si quadragefimum nomim eft relatum fecundum relati fecundi. Et ita cente-fimum vigefimum primum eft relatum tertium tetti) relati.reliqua, vt dixi,media inter ha:c funt fui generis. Quarta regula propofita quantitate ab vno in continua proportione , fi vis feite cuius %