Propoíitio 151 15 2. 535 Com* minoris & adie£tx ad duplum ynius in alteram. Hxc eft qcali conuerfa prxcedentis. Sit a maior, Sc bcminor ,Sc b d dupla be Taper quam erigatut b f xqualis a , Sc lit re&an-galum d f Sc deicribatar qaadratam b c qaod lie b g refidux Tuperficiei ad d f latus Tic h, dito h elle lineam quxfitam. Superficies enim d f cum fiat ex a in duplum b c , du-pla crit luperficiei a in be, luperficies f d, tota xquatur quadratis h & b c , igitur qua-draca h Sc be dupla funt Tuperficiei a in b c , quod verb fit ex a duplum b cTe habet ad id quod fit ex h in duplum b c , vt a ad h , cum per eandem lineam ducantur, igitur quod fit ex a in duplum be , Sc lunt quadrata K & be , fit habent ad duplum h in b c , vt a ad h, quod fait demon-ftrandum. Propofitio ctmefima cjuinqua^tfim* pr ima. Proportio differentix quadratorum par-tium, cuiuTuis linear ad quadratum diffc-rentix illarum eft velut totius linex ad diffc-rentiam. I’ ’I Com. Per 4 fecun-di Elcm. Per r.fceun. dì Elem. Per i. fexti Elcm. Sit a b diuiTa in punito c,8c fiat c d xqua-lisc b, manifeftum eft quod differentia par-tium eft a d, dico proportionem differenti* quadrata ad. Qjoniam differentia quadratorum a c Sc c b eft , quod fit ex a d in d c bis cum quadrato a d , Sc ideò quod fit ex a d in d b cum quadrato a d , Sc ideò quod fit ex tota a b in a d. Igitur differentia quadrato a c Sc c b eft quod fit ex a b in a d, quarecum quadratum ad fiat ex ad,erit prpportio a b ad a d , velut differentix quadratorum a c & be ad quadratum a d differentix partium. Quod fuit propo-fitum. Propofitio centefim* qttinqu agtfima fecunda. Si linea in duas partes xquales duasque inxquales diuidatur , fueritque proportio aggregati ex maiore Sc dimidio ad ipTam ma-iorem velut ex minore ,5c aliqua linea ad ipfam minorerà, Sc rurTus aggregati ex minore dimidio ad ipfam minorem , velut aggregati ex maiore Sc alia addita ad ipfam rmiorem , erit proportio dimidijad partem vnam inequalem, velut alterius partis inx-qualis ad fuam additanti mutuò , Sc etiam proportio additarum inuicem, velut proportio partium inxqualium duplicata, Sc rurTus ipTum dimidium hnex alfumptx medium erit proportione inter additas. Demum proportio dimidij cum addita maiore ad dimidium cum addita minore,velut maioris partis ad minorem. f a g a d d b b f a d a c bd bf d b ll a c k a d 1 ag m Com. 6f* 4 1 i *T- Sit ptopofita a b diuiTa per xqualia in c per inxqualia in d , Se fi vtaddaotur a g & b f, ita vt propottio c a , Se a d ad a d lìc veluti fd ad db,Se cbScbdadbd, velut g dad d a, Se hxc eli quatta Tecundi Archi-medis de Tpxra , Se Cylmdro : quia ergo acScadad a d , vt f d ad d b erit a c ad ad, f badbd- Et Timiliter quia eftcb Se b d ad b d , velut g d ad da erit c b ad b d, velut g ad a d , Se hoc eft primum. Quia ergo c a eft xquatis c b, erit c a ad b d, velut g a ad a d , Se iam fuit ad ad c a , ve b d ad f b, per conueriam igitur a d a db d, vt g a ad a d , Se vt b d ad T b , interpolìtis ergo a d Se d b inter a g Se b f cum com-pofita fit proportio a g ad b fex proportione a g ad a d , Se ad d b , Se d b ad b fi Se proportio a d ad db, Tit xqualis proportioni a g ad a d , Se d b ad bf, igitur proportio a g ad b f. Per demonftrata ab Alelando eft duplicata proportioni a d ad d b quod eft tecundum. RurTus quia ex primo demonftrato , vel eiusconueiTo proportio a d ad a c eft velut bdadbf, Scdbad a c, vt a d ad a g , pro-portiones ergo a d Se d b ad a c componunt proportionem praduduóH ad in d b , quod Tit li ad quadratum a c quod fit Ky Se Tinnliter proportio b d ad b f Se a d ad a g componunt proportionem produci ex bdina d , quod fit 1 ad produttum bf in a g , quod fit m , per demonftrata ab Euclide in Texto Elementorum , igitur proprotio h ad k vt 1 a d m , Ted h Se 1 flint xquales, quia producuntur ex eifdem, igitur per demonftrata in quinto Elemento-rum Euclidis, k eft xquale m , ergo a c eft media proportione inter b f Se g a, quod eft tertium. Quiavcròex primo demonftrato eftf b ad b d , vt a c ad a d , Se c b ad idem b d, vt g a ad idem a d erit con-iungendo f b Se b c ad d , vt coniungendo gaScacad ad, Ted f b Se b c componunt f c Se g a, Se a c componunt g c, igitur vt f c ad b d , ita g c ad a d, ergo permutando gc ad f c,vt a d ad b d,quod eftquartum. Cum ergo pun&urn d fuerit datnm, licet inuenirea g Se b f. facile , vt Atchimedes ptxTupponit proportionem g d ad d f datam Se quxrit eam , qux eft a d ad d b , 8c per-uenitur ad res numero triplo quadrati dimidi) linex aflumptx xquales cubo Se numero , qui fit ex duplo cubi dimidij in i.m. ipfa proportione , Se quod producituc diuifo per i. p : ipfa proportione. Veluti pofiraa b io, Se proportione , quam volo g dad d f fexiupla , duco $. dimidium io , in Te fie 15 , Se triplico, fit 7 j. nume-rus rerum. Inde duco j idem dimidium ad cubum fit 1 ij , duplico fit zjo ,duco in 5, qui eft 1 m : proportione fit rzjo , diuido per 7 , qui eft 1 p : proportione exit 17 8 ■— numerus, qui cum cubo xquatur 75. rebus. Cum ergo conftituta fuerit diuifio in c non recipit proportionem g d ad f d quam volueris/ed fequitur vna Tola ad illam,Se eft mirabile fb a c c b ga bd a d bd a d