474           Petitiones.
  muiupticis cuiuilibet quanticacis \n mì-n.imam , feu quadratura! eiufdem quanti-tans squale eft produco eiufdem quanti-tatis, Se dupli omnium fequentium primi ordinis m ipfam mmimam quantitatem, vdut quadratura a eft «quale produco ex h in a, de in duplum b c d e f g h, hoc autem facile eft probare in his quantita-tibus, quia fi quadratura a eft «quale produco h in omnes quantitates fecundi ordinis , Se oirrnes quantitates fecundi ordinis fimul fumpt« funt «quales ipfi a, Se duplo reliquarum primi ordinis, quia tales quancitaces funt «quales fuis fupple-mentis viciffim, vt h cum i, k curo g , f cam 1, e cum m, ergo tam fupplementa, quam quantitates primi ordinis funt dimi-dium quantitatum fecundi ordinis, ergo duplum quantitatum primi ordinis eft: di-midium quantitatum fecundi ordinis, veruni de b dico idem accidere, quia quadratoni b, eft «quale proda&o ex h in b, Se in duplum reliquarum à b, lei lice t duplum c defg h,Jc hoc eft attendere, quod ids quantitates funt dimidium totidem quantitatum «qualiùm b, narri ceft minor b m h, & fupplernentum p quod eft «quale ipii b , fi tota h p fiat xqualis ipfi b, vt potè h q erit ipfa q dempta hatqua-lis ipfi c, ergo quantitates primi ordinis fempcr funt «quales fupplementis non vrc:s, fed prioris quantitatis affumpt», feu in camparacione ad ìllam, quadratum igi-tur b eft «quale produ&o ex h in b, 8c in duplum c d e f g h, Se fimiliter per eadem , quadratum c eft «quale produco ex h in c , Se in duplum d e f £ h , Se fic de aliis. Hibemus ergo, quod quadrata a bc de f g h fiumi iun&a funt aequalia produdo ex h in a, Se in duplum reii-quartim, Se ex h in b,«.V in duplum reliquarum fequentium. Se produco ex h in c fe-mel, & in duplum fequentium vfque ad h, Se ita de reliquis, hoc enim eft,quod nuper demonftrauimus. Antea quoque dcmonftra-tum eft , quod duplum b in i, c in k,din ì, e in m, f in n, g in o, h in p, cum produco h in agg.egatum a bed c f gli crac «quale produólis ex h in a femel, Se in b ter, & in c quinquies, in d fepties, in e nouies,in f vndecies,in g tredeeies,in feipfam li quindecies, decraét.s ergo per ordinem, quod fit ex h in a ab vtroque aggregato, Se ex h in bc de fg h bis relinquetur ex vna parte, quod fit ex li in b femel cum fuis du-plicatis fequentibus, Se in c, Se in d, &:in reliquis patiter condupiicatis fuis fequenti-bus ex altera, quod fit ex h in b femel, in c ter, in d quinquies, in e feptiss, in {nouies, in g vndecies, in hcredecies, detradis ergo rmius quod fit ex h in b femel,& ex h in c d e fgh, bis relinquetur, quod fit ex li in c, Se duplo fequentium , & d & duplo fequentium, k c Se aliarum partter:& ex alia parte, quod fit ex h ine femel, &ind ter, Se i e quinquies, inf fepties, in g nouies, in h ndecies. Ab his rurfus decraèftìs,quòd fic ex h in c femel, Se in fequentes bis relinquetur hin d femel cum fuis fequentibus bìs,óc ine femel cum fuis fequentibus
Se in f, Se in g & ui h panter, & ex alia parte,quod fit ex h in d femel, ine ter,fquia-quies, g fepties, h nouies , ab his rurfus detrailo, quod fit ex h in d femel,& in fequentes bis, relinquetur ex vna parte,quod fit ex h in e f g b cum duplo fequentium ex dia, quod fit ex h in e femel, f ter, g quinquies, h fepties, & fimiliter ab his decra&is , quod fic ex h in e femel, & bis in fequentes,relinquetur ex vna parte, quod fit ex h la f femel, & in g h bis, & in g femei, Se in h bis, & in h femel, Se ex alia , quod fic ex h in f femel, in g ter, in h quinquies. Iterum detra&is, quod fit ex h in f femel, &: in g h bis communker relinquetur,quod fit ex h in g femel, 8c ia h bis, Se in li feme! , Se ex alia parte quod Et ex h in g femel , Se ex h in h ter. Scd ifta , qu* reli-tìa funt iam, mamfeftc «qualia, ergo ctiam prima aggregata ab micio fucre «qualia, ergo & «qualia lhs quadrata a bc d e f g h his, qu« fiunt ex h in eafdem quantica-tes cum duplo produrti b in i, c in k, i in 1, e in m, f in n, g in o, h in p, fed iam his quadratis abcdefgh demonftrata funt elfe dupla quadrata h p , go,fn, e m, d 1, c k, b 1, cum duplo quadrati a, ergo quadrata omnium quantitatum fecundi ordinis cum quadrato a rurfus repetiro, Se produco h in aggregatati! quantitatum primi ordinis fune tripla quadratis quanri-tatum primi ordinis pariter acceptts quod fuit propofitum , Se fuic Archimedis in libro de lineis fpiralibus, Se ego adteci hic propter modum dcmonftrandi, qui eftele-gantiffimus, Se procedit ex prmcipiis Ari-thmeticis, Se diuerfis à communibus, Se ideo non reuoluicur, vt loient reliqu« qu«-iliones.
                                                                 Propofitio vigcfmt*.
    Cùmfuerint quatuor quantitates,fuerit-que fecunda«qualisterci®, autprim««qua-hs quart« , erit proportio pnm« ad quar-tam, aut tertie ad fecundam produca ex proportionibus prim« ad fecundam Se tetti« ad quartana.
    Cùm enim quantitates h* non fuerint «quales,conftac per fecundam haruni,quod proportio prim« ad quartam produci tur ex proportione prim« ad fecundam, fecund« ad certiam, & certi« ad quartam : ergo non ex folis proportionibus prim? ad iecun-dam, & tertix ad quartam, Se fimiliter ex prima harum proportio prim« ad fecundam & certi« ad quartam producunt proportio-nem produrti prim« in fecundam ad produ«-dum certi« in quartam. Et in muldplica-tione proportio, qu« folec effe inter produca illa, & eft quafi duplicata eft inter ip-fas quantitates, Sint igkur quantitates a b cd, Se fit b «qualis c, ponancur ergo redo ordine a b c d,eritque proportio a ad d pro-
           a                      c
      --------- {-------------------------1
           b                      d
c
e